你好，我想知道有限元问题中的刚度矩阵在什么情况下会变成非对称的?这个话题有什么好的参考资料吗?谢谢。
你好,
在这种情况下，刚度当刚度特性较高时，矩阵变得不对称非局部或当非局部效应在减小的尺度上变得显著时研究。根据非定域理论，任意材料点处的应力为a不仅是该点应变的函数而且是所有应变的函数材料点在附近。理论上，这可能是当你离散一个物体的问题时，刚度矩阵的非对称性使用有限元法或任何其他方法的有限尺寸。在然而，实际上，会有一个截止半径来限制使刚度矩阵在有限维物体的内部材料点处对称的点的邻域。然而,即使在这种情况下，在靠近边界的材料点处仍然存在非对称性。
问候,
阿米尔Shakouri
我不能即兴引用参考文献(我必须努力思考我在哪里读到的)，但据我所知，如果一个变分公式对一个问题是可用的，或者，更具体地说:如果一个潜在的函数可以为一个问题定义，那么得到的刚度矩阵是对称的。
我认为，势能函数的存在为麦克斯韦互易定理的成立提供了充分必要条件。(如果我说错了，请指正。)它是麦克斯韦的互易定理，通常被引用为刚度矩阵对称的基础，在更多的工程导向的文献中，我不知道更多的数学导向的文献(我也不太关心(!!))。
警告:有时候，人们把“变分”和“弱”当作同义词，在所有方面都是等同的，我认为这是错误的。一个弱公式总是可以通过加权残差方法的应用:通过降低微分阶，从而削弱对连续性的要求(使用部分积分来降低该阶)。然而，通过加权残差的弱公式的可能性并不一定意味着可以定义相应的势函数。
就我自己的理解而言，对称性只有在势能函数存在的情况下才能得到保证。
对于非线性问题，势函数是不能定义的。
特的
- - - - -(E&OE)
谢谢阿米尔和阿吉特。
你能简单地演示一下非对称分量是如何进入普通对称刚度矩阵的吗?另外，你知道有什么关于非局部损伤理论的入门读物吗?
亲爱的Khong:
我确实知道你想要表达的意思，但是，我想不出一个足够简单的演示。(我想知道是否有人可以提供一个。)对于非对称刚度矩阵的例子，搜索关于板和壳的文献。希望这对你有所帮助。再见了。
几分钟后更新:也可以看到CFD(虽然，在这里，我试图从固体力学中想出一些例子)。再见。
——特- - - - -(E&OE)
我试试看。人们可以用线性问题来说明这一点(不需要非局部或非线性效应)，我将选择一维的边值问题(很明显可以扩展到多维)，因为它更容易理解。下面使用了LaTeX表示法。
必须区分连续公式(弱或变分)和构造离散方程(FEM)的选择。作为一个数学模型，考虑具有源函数f的1- d扩散(拉普拉斯算子)，它在(0,1)域中由-u”= f (Lu = f)控制。这里，L是一个自伴随算子，它指向相关矩阵是对称的(一般的厄米算子:见这因为它的许多特性)。相反，非自伴随的平稳对流/平流扩散方程为:在(0,1)域中(Lu = 0) -u'' + ku' = 0，其中L现在是非自伴随的。后者(非自伴随偏微分方程)是流体力学(广义的纳维-斯托克斯方程)中实现的典型。
可以用加权残差法推导出每种情况下的弱形式。此外，对于自伴随(扩散)问题，也存在一个等价于弱形式的变分公式(后面会详细介绍)。对于具有基本边界条件的自伴随问题，有:a(u,w) = \ well (w) \forall w \in V作为弱命题，其中a(u,w) = \int_0^1 u' w' dx, u和w分别是试函数和试函数。对于对流扩散问题(非自伴随问题)，双线性形式a(.，.)定义为:a(u,w) = \int_0^1 [u'w' - ku'w]dx。对u和w采用适当的离散化方法(如有限元法)，得到了刚度矩阵的具体离散表示。
在C^0 FEM中，用相同的节点基函数\phi_b展开u和w，即u(x) = \phi_b (x) u_b (sum on b)，用w(x) = \phi_a (x) (a = 1,2，…N)对弱命题进行“检验”，得到N个方程，N个未知数。刚度矩阵(在施加基本bc之前)是:K_ab = \int_0^1 \phi_a^' \phi_b^' dx，这显然是对称的。这被称为Bubnov-Galerkin的方法。对于这个自伴随问题，在变分公式(最小化势能泛函)中使用ansatz产生的离散方程将与用布布诺夫-伽辽金方法得到的结果相同。然而，请注意，如果我们选择不同的基函数作为弱形式的测试函数，例如w(x) = \psi_a (x)，那么刚度矩阵将是K_ab = \int_0^1 \psi_a^' \phi_b^' dx，这显然是非对称的。这是Petrov-Galerkin方法:少数无网格方法也采用了用不同基函数展开试验和测试函数的选择。
现在，对于对流扩散问题，即使使用布布诺夫-伽辽金方法，也可以得到K_ab = \int_0^1 [phi_a^' phi_b^' - k phi_a phi_b^'] dx，它是非对称的。显然，如果使用Petrov-Galerkin方法(这是首选方法)，那么刚度矩阵也将是非对称的。综上所述，有限元刚度矩阵的对称/非对称取决于底层弱式以及有限元方法中试验函数和检验函数的选择(基函数的线性组合)。
问题是:“……有限元问题中的刚度矩阵在什么情况下会变成非对称的?
答案是:“……有限元刚度矩阵的对称/非对称取决于衬底弱式以及有限元方法中试验函数和检验函数的选择(基函数的线性组合)。
好的。以下几点:
(i)谢谢你对u和w的简洁澄清，你指出它不仅是控制方程，也是基函数。
(ii)在说微分算子是自伴随的而不是说相关的F和d变量(实际上是向量)服从所需的一种互反关系时，是否增加了什么重要的东西?从物理学的角度来看，就我有限的知识而言，最后一个问题的答案是:什么也没有。用函数空间和运算符来说可能是一种数学上更抽象的表述方式。然而，如果有人问一个问题的例子，其中一个自伴随算子导致对称矩阵，同时也违反了互易关系，是否有可能提出一个?当然不是。反之亦然(其中互惠关系没有违反，但算子不是自伴随的问题)?又不……如果错了，我希望得到纠正。
(iii)作为Petrov-Galerkin的Wiki条目[^]表明，它似乎是关于微分项的奇数/偶数的顺序。简单:偶序项很好地分解并导致对称。势函数涉及偶阶，因为两个一阶项是相关的[2012年7月1日更新:用更智能的“相关”取代更愚蠢的“相乘”，在这句话中]。高阶势可以分解为二阶势(如双谐波势)。势函数的可用性意味着对应的泛函的可用性。(或者，是反过来的?)泛函的存在应该是更基本的概念，而势函数的存在应该是次要的概念吗?我不知道;我都猜不到!)
(iv)现在，一个问题(因为它，我认为，使我们更接近最初的问题):如果试验和测试函数被选择为不同的即使操作符是自伴的，那么这种选择的物理意义是什么呢?…顺便说一句，注意，所寻求的物理意义与试验和测试函数的使用有关，即与问题情况有关。在解决方案的情况下，物理意义相当明显。例如，如果矩阵不是对称的，你就不可能期望在无源网络(最简单的情况)中任何两个电阻之间“交换”电压和电流。关键是，这一侧不同功能的物理意义是什么问题或者在指挥的阶段过程．
- - - - -
(E&OE)
亲爱的Khong,
定义选定变分原理的函数可以帮助您解决问题。
有限元矩阵是对称的。这是由于方程[K]=[Tt][K*][T]，其中[K]:全局坐标系(C.S)中的初等矩阵，[K*]:局部坐标系中的初等矩阵，[T]:变换矩阵(正交矩阵)。例如，在结构力学中，总势能给出U=(1/2)*积分(sigmat*epsilon)dv =(1/2)* {qt}[K*]{q}和[K*]=积分([Bt][D][B]dv)其中U:应变能，{q}:d.o。f向量，[B]=[N的导数]，N:插值函数，[D]:材料性能矩阵。你的边界条件必须包含在一个修改的函数公式的平均值中，作为将拉格朗日乘数添加到你的d.o.f的约束方程。这可以生成一个扩展的刚度矩阵(包括你的约束)，它也是对称的。
默罕默德人士
非局部效应引起的非对称性
你好,
在这种情况下，刚度
当刚度特性较高时，矩阵变得不对称
非局部或当非局部效应在减小的尺度上变得显著时
研究。根据非定域理论，任意材料点处的应力为a
不仅是该点应变的函数而且是所有应变的函数
材料点在附近。理论上，这可能是
当你离散一个物体的问题时，刚度矩阵的非对称性
使用有限元法或任何其他方法的有限尺寸。在
然而，实际上，会有一个截止半径来限制
使刚度矩阵在有限维物体的内部材料点处对称的点的邻域。然而,
即使在这种情况下，在靠近边界的材料点处仍然存在非对称性。
问候,
阿米尔Shakouri
Re:非对称刚度矩阵
我不能即兴引用参考文献(我必须努力思考我在哪里读到的)，但据我所知，如果一个变分公式对一个问题是可用的，或者，更具体地说:如果一个潜在的函数可以为一个问题定义，那么得到的刚度矩阵是对称的。
我认为，势能函数的存在为麦克斯韦互易定理的成立提供了充分必要条件。(如果我说错了，请指正。)它是麦克斯韦的互易定理，通常被引用为刚度矩阵对称的基础，在更多的工程导向的文献中，我不知道更多的数学导向的文献(我也不太关心(!!))。
警告:有时候，人们把“变分”和“弱”当作同义词，在所有方面都是等同的，我认为这是错误的。一个弱公式总是可以通过加权残差方法的应用:通过降低微分阶，从而削弱对连续性的要求(使用部分积分来降低该阶)。然而，通过加权残差的弱公式的可能性并不一定意味着可以定义相应的势函数。
就我自己的理解而言，对称性只有在势能函数存在的情况下才能得到保证。
对于非线性问题，势函数是不能定义的。
特的
- - - - -
(E&OE)
谢谢阿米尔和阿吉特。
谢谢阿米尔和阿吉特。
你能简单地演示一下非对称分量是如何进入普通对称刚度矩阵的吗?另外，你知道有什么关于非局部损伤理论的入门读物吗?
Re:非对称组件
亲爱的Khong:
我确实知道你想要表达的意思，但是，我想不出一个足够简单的演示。(我想知道是否有人可以提供一个。)对于非对称刚度矩阵的例子，搜索关于板和壳的文献。希望这对你有所帮助。再见了。
几分钟后更新:也可以看到CFD(虽然，在这里，我试图从固体力学中想出一些例子)。再见。
——特
- - - - -
(E&OE)
有限元中的非对称刚度矩阵
我试试看。人们可以用线性问题来说明这一点(不需要非局部或非线性效应)，我将选择一维的边值问题(很明显可以扩展到多维)，因为它更容易理解。下面使用了LaTeX表示法。
必须区分连续公式(弱或变分)和构造离散方程(FEM)的选择。作为一个数学模型，考虑具有源函数f的1- d扩散(拉普拉斯算子)，它在(0,1)域中由-u”= f (Lu = f)控制。这里，L是一个自伴随算子，它指向相关矩阵是对称的(一般的厄米算子:见这因为它的许多特性)。相反，非自伴随的平稳对流/平流扩散方程为:在(0,1)域中(Lu = 0) -u'' + ku' = 0，其中L现在是非自伴随的。后者(非自伴随偏微分方程)是流体力学(广义的纳维-斯托克斯方程)中实现的典型。
可以用加权残差法推导出每种情况下的弱形式。此外，对于自伴随(扩散)问题，也存在一个等价于弱形式的变分公式(后面会详细介绍)。对于具有基本边界条件的自伴随问题，有:a(u,w) = \ well (w) \forall w \in V作为弱命题，其中a(u,w) = \int_0^1 u' w' dx, u和w分别是试函数和试函数。对于对流扩散问题(非自伴随问题)，双线性形式a(.，.)定义为:a(u,w) = \int_0^1 [u'w' - ku'w]dx。对u和w采用适当的离散化方法(如有限元法)，得到了刚度矩阵的具体离散表示。
在C^0 FEM中，用相同的节点基函数\phi_b展开u和w，即u(x) = \phi_b (x) u_b (sum on b)，用w(x) = \phi_a (x) (a = 1,2，…N)对弱命题进行“检验”，得到N个方程，N个未知数。刚度矩阵(在施加基本bc之前)是:K_ab = \int_0^1 \phi_a^' \phi_b^' dx，这显然是对称的。这被称为Bubnov-Galerkin的方法。对于这个自伴随问题，在变分公式(最小化势能泛函)中使用ansatz产生的离散方程将与用布布诺夫-伽辽金方法得到的结果相同。然而，请注意，如果我们选择不同的基函数作为弱形式的测试函数，例如w(x) = \psi_a (x)，那么刚度矩阵将是K_ab = \int_0^1 \psi_a^' \phi_b^' dx，这显然是非对称的。这是Petrov-Galerkin方法:少数无网格方法也采用了用不同基函数展开试验和测试函数的选择。
现在，对于对流扩散问题，即使使用布布诺夫-伽辽金方法，也可以得到K_ab = \int_0^1 [phi_a^' phi_b^' - k phi_a phi_b^'] dx，它是非对称的。显然，如果使用Petrov-Galerkin方法(这是首选方法)，那么刚度矩阵也将是非对称的。综上所述，有限元刚度矩阵的对称/非对称取决于底层弱式以及有限元方法中试验函数和检验函数的选择(基函数的线性组合)。
回复:Sukumar的回复
问题是:“……有限元问题中的刚度矩阵在什么情况下会变成非对称的?
答案是:“……有限元刚度矩阵的对称/非对称取决于衬底弱式以及有限元方法中试验函数和检验函数的选择(基函数的线性组合)。
好的。以下几点:
(i)谢谢你对u和w的简洁澄清，你指出它不仅是控制方程，也是基函数。
(ii)在说微分算子是自伴随的而不是说相关的F和d变量(实际上是向量)服从所需的一种互反关系时，是否增加了什么重要的东西?从物理学的角度来看，就我有限的知识而言，最后一个问题的答案是:什么也没有。用函数空间和运算符来说可能是一种数学上更抽象的表述方式。然而，如果有人问一个问题的例子，其中一个自伴随算子导致对称矩阵，同时也违反了互易关系，是否有可能提出一个?当然不是。反之亦然(其中互惠关系没有违反，但算子不是自伴随的问题)?又不……如果错了，我希望得到纠正。
(iii)作为Petrov-Galerkin的Wiki条目[^]表明，它似乎是关于微分项的奇数/偶数的顺序。简单:偶序项很好地分解并导致对称。势函数涉及偶阶，因为两个一阶项是相关的[2012年7月1日更新:用更智能的“相关”取代更愚蠢的“相乘”，在这句话中]。高阶势可以分解为二阶势(如双谐波势)。势函数的可用性意味着对应的泛函的可用性。(或者，是反过来的?)泛函的存在应该是更基本的概念，而势函数的存在应该是次要的概念吗?我不知道;我都猜不到!)
(iv)现在，一个问题(因为它，我认为，使我们更接近最初的问题):如果试验和测试函数被选择为不同的即使操作符是自伴的，那么这种选择的物理意义是什么呢?…顺便说一句，注意，所寻求的物理意义与试验和测试函数的使用有关，即与问题情况有关。在解决方案的情况下，物理意义相当明显。例如，如果矩阵不是对称的，你就不可能期望在无源网络(最简单的情况)中任何两个电阻之间“交换”电压和电流。关键是，这一侧不同功能的物理意义是什么问题或者在指挥的阶段过程．
特的
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(E&OE)
亲爱的hong，定义
亲爱的Khong,
定义选定变分原理的函数可以帮助您解决问题。
有限元矩阵是对称的。这是由于方程[K]=[Tt][K*][T]，其中[K]:全局坐标系(C.S)中的初等矩阵，[K*]:局部坐标系中的初等矩阵，[T]:变换矩阵(正交矩阵)。例如，在结构力学中，总势能给出U=(1/2)*积分(sigmat*epsilon)dv =(1/2)* {qt}[K*]{q}和[K*]=积分([Bt][D][B]dv)其中U:应变能，{q}:d.o。f向量，[B]=[N的导数]，N:插值函数，[D]:材料性能矩阵。你的边界条件必须包含在一个修改的函数公式的平均值中，作为将拉格朗日乘数添加到你的d.o.f的约束方程。这可以生成一个扩展的刚度矩阵(包括你的约束)，它也是对称的。
默罕默德人士