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应力不变量
太阳，2009-08-23 15:38 -bruno-page
这是一个非常基本的问题。
应力不变量的物理意义是什么?
我知道偏应力张量的应力不变量J2是用来表达屈服标准的——但这与冯·米塞斯屈服标准是一样的——我想知道应力不变量有什么特别之处?
我知道这些不变量不会因轴的旋转/变换而改变-这是如此特殊的唯一原因还是还有其他原因?
论坛:
回复:应力不变量
亲爱的布鲁诺:
假设你所说的压力是指柯西压力(它是对称的)，下面的结果是已知的。应力的标量函数f在正交变换下是不变的当且仅当它是应力的三个不变量的函数，即f=f(I_1, I_2, I_3)。这意味着f中的参数数量从6个减少到3个。当然，你可以用任意对称2张量来代替柯西应力。
在塑性中，J_1定义为零，J_3通常被忽略。这就是为什么你在定义屈服面时只看到J_2。
在非线性弹性中，上述定理告诉你，内能密度取决于C的不变量(右柯西-格林张量)，因此只有三个弹性常数(都明确依赖于C的不变量)与C和S(第二个皮奥拉-基尔霍夫应力)有关。
问候,
乔
亲爱的先生，对不起
朱莉
亲爱的先生,
对不起，这是一个基本的问题。
你能解释一下，当你说:
“应力的标量函数f在正交变换下是不变的，当且仅当它是三个应力不变量的函数，即f=f(I_1, I_2, I_3)。”
这里的正交变换是什么意思?
在本例中，是“正交的”
在这种情况下，“正交变换”指的是旋转，既有刚体旋转的意义，也有观测架旋转的意义。
四阶张量不变量
我在哪里可以找到四阶刚度张量的不变量的公式?希望是缩略符号。
我已经验证了I1=trace(C)=C11+C22+C33+2C44+2C55+2C66是不变的，其中需要“2”，因为符号简化了。
我想写C*=C-tr(C)，然后找到第二个不变式J2=1/2(tr(C*)^2-tr(C*^2))。
第一项是tr (C *) = 0,……但第二个呢?
tr (C *)
你应该注意到tr(C*)不是零。如果你说的C*是指C*=C-tr(C)I，那么:
tr (C *) = tr (C) tr (C) tr (I) = tr (C) - 3×tr (C) = 2 tr (C)。
也许你的意思是C*=dev(C)=C-1/3tr(C)I。那么它的第一个不变量是零。对于C*的第二个不变量，我们可以写成:
II_C* = 1/2[(tr C*)^2-tr(C*^2)]=-1/2 C*:C*
已知C*:C* = tr(C*^2)和tr(C) = I:C。我们可以写成:
C *: C * = [C-1/3tr (C)我]:[C-1/3tr (C)) = C: C-1/3tr (C) C: I-1/3tr (C)我:C + C (tr) ^ 2 1/9我:我=
tr (C ^ 2) 1/3 (tr) ^ 2-1/3 (tr C) ^ 2 + 1/3 (tr C) ^ 2 = tr (C ^ 2) 1/3 (tr C) ^ 2 = tr (C ^ 2) - C (tr) ^ 2 + 2/3 (tr C) ^ 2 = 2 ii_c + 2/3 I_C
因此我们有:
Ii_c * = Ii_c - 1/3 i_c
其中I_C和II_C是C的第一和第二不变量。
Mohsen
轻微的注意
在我之前的文章中，请注意I_C实际上是I_C^2。换句话说:
Ii_c * = Ii_c - 1/3 i_c ^2
Mohsen
知道了这些成分
知道第四个张量的分量从一个坐标系变换到另一个坐标系
C'_ijkl = Q_ir Q_js Q_kt Q_lu C_rstu;
这是一个简单的任务，例如:
C'_iikk = Q_ir Q_is Q_kt Q_ku C_rstu = δ_rs δ_tu C_rstu = C_rrtt
以类似的方式，我们可以验证C_ijij, C_ijji也是不变的。
Mohsen