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非线性固体力学中的应变相容方程!!
我们有六个应变相容方程，它们是通过假定“小应变”，从应变-位移关系中得到的。应变协调方程保证了单值连续的位移场。这些方程用于基于应力的方法。
现在我的问题如下。
我们有非线性应变-位移关系的应变兼容方程吗?
我们在非线性固体力学中遵循基于应力的方法吗?
对我来说，在非线性固体力学中推导应变兼容方程似乎很困难(可能也不可能)。
我希望有人能通过对“非线性固体力学中的应变兼容方程”的主要关注来了解以上内容
提前谢谢你，
与问候,
——R.钦纳塞蒂。
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评论
compaibility方程
亲爱的Ramdas:
首先要注意的是，经典相容方程仅对单连通域是必要和充分的。如果你的身体有“洞”，即对于多连通域，你需要一些额外的条件。因此，让我们考虑一下局部兼容方程，因为全局兼容要复杂得多，并且强烈依赖于感兴趣的域的拓扑结构。
在线性化弹性中，从应变张量开始，你想要计算一个在点B处的位移向量，在点a处的位移，你会在非线性弹性中做完全相同的事情。而不是这六个兼容性方程，你有“卷曲F = 0”，其中F是变形梯度。注意，这里假设环境空间是欧几里得的。
你可以等效地用右柯西-格林应变张量C来写相容方程。把C看作环境空间的欧几里得度规的回拉，当且仅当它的曲率张量为零时，C是相容的。在三维空间中，这给出了六个相容性方程。然而，请记住，曲率张量满足三个Bianchi恒等式，最终有三个独立的相容方程(这是你在弹性书中看到的模糊论点的严格版本)。
不幸的传统是从线性弹性到非线性弹性。这种误导的做法在文献中造成了很多混乱。自然的方法是从非线性弹性开始，然后在必要时对给定的运动进行线性化。当然，一般来说，有无限多的线性化理论。所以，看到线性弹性中有基于位移和应力的公式并不意味着我们可以在非线性弹性中得到同样的结果。在线弹性力学中，在某些问题中(例如，如果所有的边界条件都用牵引力表示)，用应力表示相容方程是很方便的。有了应力和应变张量之间的线性关系，这是一个简单的任务。在非线性理论中，相容方程用F或c表示。根据应力-应变关系(来自应变能或自由能密度)，你可以把所有东西都写成应力的形式，尽管这可能不会简化最后的计算。
我希望这能有所帮助。
问候,
乔
F, C, B的兼容性
亲爱的乔,
我不能完全理解你在什么意义上指的是变形“梯度”和正确的柯西-格林张量场(局部)兼容性之间的等价。
以下是我对这次讨论的一些看法，有些人可能会觉得有用:
我还将把整个讨论限制在局部存在或单连通域。
虽然如果可逆二阶张量场F相容(旋度F = 0)，那么它的右柯西-格林场C = F^t F相容(黎曼-克里斯托费尔(RC)曲率张量消失)是正确的，但从RC消失的意义上说，如果C场相容，F场是不正确的。
最简单的方法是观察，如果两个变形具有相同的C场，那么变形最多只能相差一个刚性变形。因此，一个兼容的C场定义了一个唯一的旋转场，直到一个无关紧要的空间均匀正交张量(R T Shield给出了一个优雅的证明，基于谐波函数的性质，SIAM J. Appl。Math, 25(3)， 1973，但还有一个基于Christoffel符号等的更简单的行人证明，我将发布)。因此，对给定的F场进行极坐标分解，F = RU。让它的C = UU字段兼容(RC消失)。这个C场生成一个“唯一的”旋转场，例如R*，这样R*U可以写成一个位置场的变形梯度。现在，如果F的R场与R*场不相同(直到一个空间均匀的正交张量场)，那么F就不能相容。事实上，在位错的连续统理论中，这就是一个人如何拥有零弹性应变能/应力的非平凡Nye张量场。
当然，即使在小应变下，应变兼容性的证明也依赖于构造这个与相容的小应变场相对应的“唯一的”无穷小旋转场。
备注:对于兼容性证明，变形/位移'梯度'参数是最简单的，其次是小应变兼容性，其次是C兼容性。所有兼容性争论的母亲是B(左侧柯西绿兼容性)，据我所知，在3d中不存在一个充分必要条件。Janet Blume做了二维的例子，我做了三维的充分条件。
我将为感兴趣的学生发布一些课堂笔记(它们主要是为了帮助我讲课，但我认为它们可能对那些愿意弄清楚一些事情的学生有用)和关于b兼容的论文。不幸的是，我将不得不做一个单独的帖子，因为一个不能附加到评论。
最好的祝愿,
阿米特
兼容性
亲爱的阿米特:
感谢你有趣的评论，也感谢你有趣的J. Elasticity论文。
我同意你的第一个评论，但不完全清楚你想说什么。有一个定理说，如果流形(M,C_{AB})的曲率张量消失(M是参考流形，C_{AB}是“平化”的右柯西-格林张量，因为从M的切线空间到它自己的映射有C^ a {}_B)，那么在局部有一个变形映射，C是它的右柯西-格林张量。有了C，就有不止一个对应C的F，这使得讨论F的兼容性变得模棱两可。你是这个意思吗?如果是，那么你在第四段中的“F域”是什么意思?
关于B张量，我不明白为什么它与c相比有什么特别之处。我快速看了一下你的论文，不知道B是在哪里定义的。我的理解是，给定环境空间中的一点x, B是一个从环境空间的切线空间到该点自身的线性映射。在第97页，您在引用配置上定义了B。我遗漏了什么吗?
另一方面，C是物质流形在X点的切线空间到它自身的映射。通过变形图可以看出，C是环境空间度规的回拉。现在如果环境空间是欧几里得的，它的曲率张量就消失了。流形(M,C)的曲率张量是这个曲率张量的回拉，也应该消失。当然，反过来就更难证明了。
我的猜测是，人们可以通过推动材料流形的曲率来做类似的事情(假设没有缺陷等)。
问候,
乔
Re Arash兼容性
亲爱的乔,
让我再试一次，这里所有东西都在欧几里得空间里。
1)假设已知单连通参考构型上的可逆二阶张量场A，该构型中的点一般用x标记。
让由度规张量分量构成的黎曼-克里斯托费尔曲率张量分量消失，度规张量分量与场A^t A的直角笛卡尔分量相同。
那么，虽然参考构型存在变形y，使得(dy/dx)^t (dy/dx) = a ^t a，但并不一定存在*任何*变形z，使得dz/dx = a。
从这个意义上说，右柯西格林相容问题并不等同于“变形梯度”相容问题。
2)关于B兼容性问题，我不认为你遗漏了任何东西，但我不明白:)(我认为是时候我们亲自谈谈了!)其中的混淆是第97页的定义1)是标准定义。如果我用B(y(x))来代替B(x)和转置as (dy/dx)^t (y(x))会不会更好?顺便说一句，我同意你的观点，从几何上讲，B是在变形流形上的基点的切线空间上定义的转置也是如此。但在这里，由于我们讨论的是一个内射y而且我们在欧几里得空间中，因此变形和未变形流形上的切线空间在相应的基点上是可以相互识别的，这对于我们手头的主要存在性问题并不重要。
所以B相容性的主要问题是很自然的给出一个正定的，对称的，二阶张量场B作为x的函数，问题是在这个场上找到条件，使得变形y可以被构造成在每个x处的(dy/dx)(dy/dx)^t等于该x处的B值。
当然，大多数研究连续介质机制的人(包括我)一开始觉得B的兼容性不应该与C的兼容性有任何不同——但这里的魔鬼似乎在细节中....
此外，Blume、Duda和Martins都是非常能干的人;我相信这个问题也是Blume和Sternberg的博士工作，所以Sternberg也会研究这个问题(至少看看这里是否有问题)....但这不应该阻止你尝试回答这个问题，特别是通过某种方式将其简化为C兼容性问题——我对此非常感兴趣。
最好的
阿米特
B兼容性
亲爱的阿米特:
我同意你的评论“1)”。
2)是的，如果你写B(y(x))事情会更一致。也许，在你所做的事情中，这不会有什么不同，但我认为保持参考量和空间量完全清晰可能会解决一些现有的困惑。
同样，我觉得B和C的兼容性应该是紧密相关的。让我仔细读一下Blume的论文，然后再给你答复。
问候,
乔
B相容的几何公式
嗨乔,
将期待听到任何新的补充，你可以回答B兼容性问题。
一些评论:
1)如果一个人手里有变形y，那么保持参考和空间对象分离可以在“建设性”的方式完成，在某种意义上，一个人实际上手里有空间切线空间等。但当空间结构本身是雾状的，直到你实际构造了变形/有了它的存在保证，这是这里的主要问题，先验地保持这种差异对我来说似乎是一个灰色地带。有趣的是，你怀疑的造成混乱的主要原因(实际上这个问题并没有混乱——只是在平面情况下没有明确的答案!)，我发现仅仅是几何上的装饰!也许你会证明我错了。也就是说，你会发现我对这个问题的表述实际上是“被动的”几何形式，即在图表(eqns)中。我的论文的第3至8段):)，它在概念上维护了两个具有相应对象的图表。
无论如何，请记住，答案最终必须与场B上的某些条件有关在手头唯一已知的位型上，即参考位。同样，无论你提出什么相容条件，它都必须与变形y无关。
2)布卢姆在三维空间中回避了存在性问题。如果你将代数约束Q^T Q = I附加到她的等式中，我提供的定理实际上可以应用到她的极坐标分解旋转公式中。3.13.
基本上答案可以归结为想要应用Froebenius定理一旦你把问题描述成一个全微分方程/普法夫形式的系统有复杂的代数约束，没有办法保证，仅仅基于B场和参考构型，可积条件可以成立。所以你寻找下一个最好的事情.......
愿一切都好！
阿米特
好书! !
谢谢你Arash!!你能推荐一些关于“非线性固体力学”的好书吗?
与问候,
——Ramdas
书
亲爱的Ramdas:
我想你说的"非线性固体力学"是指"非线性弹性"在我看来，M.E. Gurtin的《An Introduction to Continuum Mechanics》是一本不错的入门书。另一本书是M.西尔哈维的《连续介质的力学和热力学》。如果你对几何观点感兴趣，可以看看J.E.马斯登和T.J.R.休斯的《弹性的数学基础》。如果我是你，我会再看几本书，看看我更喜欢哪一本。
问候,
乔
“向后拉”和向前拉
亲爱的乔,
谢谢你把事情说清楚。你说的是C的回拉，那么压力的“向前”呢?
谢谢
hamanh
推进
亲爱的Hamanh:
当两个流形之间存在映射时(如果你愿意，你可以把流形看作欧几里得空间的一个子集，使事情变得简单)，你可以向后拉或向前推(两点)张量场。在经典连续介质力学中，这个图是变形图。在环境空间中有一个度规(或所谓的变形构型)，你可以把它拉回参考构型，那就是c。如果你愿意，你可以把参考流形的度规推到环境空间(手指张量)。
“应力”自然地定义在变形的结构中。作为线性动量平衡的结果，你可以证明柯西应力的存在。如果你拉回柯西应力的第一个分支，你会得到第一个皮奥拉-基尔霍夫应力P。拉回柯西应力的两个分支，你会得到第二个皮奥拉-基尔霍夫应力张量S。注意，P和S(在能量上)分别共轭于F和C(柯西应力共轭于环境空间度规相对于空间速度场的李导数)。
如果你在参考配置中定义了一些“应力”，比如一些人所说的“构型”或“材料”应力，你可以将这个“应力”推到环境空间，等等。
问候,
乔
格哈德·霍尔扎菲尔的《非线性固体力学》教科书
目前我最喜欢的关于非线性固体力学的书是Gerhard Holzapfel写的。你可以在亚马逊上搜索该书全文．
完整的定义
亲爱的乔,
再次感谢对兼容性和应力的简短而完整的描述。
问候
Hamanh
基于应力的公式，非线性弹性静力学，J Blume的工作
亲爱的Ramdas,
我希望你已经看过我在这个有趣的话题里的帖子，以及包含一些注释和一篇关于小和有限应变兼容性的论文的独立博客文章。
关于非线性弹性静力学中基于应力的公式问题，Janet Blume在她的论文中写道，她为左柯西格林张量推导相容问题的部分动机是看看是否可以实现基于有限应变相容条件的基于应力的公式。这里左柯西绿张量的相关性是有限的，各向同性的，非线性弹性静力学中出现的自然应变测量是B张量。
对于平面变形，Blume给出了兼容条件的完整描述，这与右侧柯西格林场的对应条件有很大不同。在三个维度上，没有必要和充分条件的日期;在我的工作中有一个一般的充分条件，但它并不明确。
我将把Blume 1989年的论文添加到我的博客文章中，以防你感兴趣。
希望这能有所帮助。
最好的祝愿,
阿米特
谢谢!!
亲爱的先生,
非常感谢你的解释。我是非线性固体力学(非线性弹性)的初学者。我讲了柯西应变张量和阿尔曼西应变张量。我正在努力理解这些帖子。我请求您添加Blume的论文。
谢谢你！
与问候,
——Ramdas
有见地的评论
这种从一个看似微不足道的问题中产生的深刻而深刻的讨论让我想起了TJR Hughes在一组课堂笔记中对R Sachs的引用。有句名言是这样说的:“所有线性问题都是微不足道的，所有非线性问题都是不可能的。”
-Nachiket
多多少少
Nachiket,
很高兴你们喜欢这次讨论。
对于你引用的那句话，我的回答是“或多或少”，否则生活就太令人失望了。
线性问题的神奇效用和美感(解决这些问题需要相当多的学习)，再加上解决一些非线性问题的诱人可能性和偶尔的成功，我想是什么让人坚持下去。
- - - - - -阿米特
谢谢大家!!
我要感谢大家积极参与这次讨论。
问候,
——Ramdas
客观性
亲爱的机械万博体育平台,
为了继续关于应变兼容性和应力定义的有趣讨论，有人能给我解释一下连续介质力学中的客观性概念吗?我读了Holzapfel关于这个主题的书，但仍然含糊不清!!
谢谢你！
Hamanh