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质量密度梯度场的断裂和奇点
发表在《弹性杂志》上
提出了一种无奇异场的连续断裂力学理论。主
从本质上来说，其贡献是对裂纹尖端“运动定律”结构的合理化
作为运动学结果，并涉及拓扑特性。兼容性问题
由此产生的运动学模型进行了探讨。热力学驱动力
因为在任意组成的固体中裂纹尖端运动是模型的自然结果。
控制方程代表了一类新的模式形成方程。
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评论
有趣理论
亲爱的阿米特，有趣的理论，虽然我不是这个领域的专家，不能完全判断。
我一直不愿意接受奇点，最后，许多理论都采用了奇点，但又回到了非奇异解，比如疲劳，你知道所谓的“临界距离理论”吗?这个理论是由大卫·泰勒推广的，但实际上在他之前很久就存在了。Nicola Pugno的“量子化断裂力学”也有类似的版本。
也许你的理论可以与这个(更简单的)想法联系起来?
回复:有趣的理论…
亲爱的米歇尔,
谢谢你的评论和推荐信。我不知道你提到的Taylor & Susmel Pugno和Ruoff的作品，但现在知道了，谢谢。我需要一点时间来浏览这些文件，并试图形成一个观点，届时我会给你答复。
对我来说，避免奇点是很重要的，因为缺陷的演化模型不可避免地需要像缺陷处的应力和能量密度这样的对象作为驱动力，在非线性理论中，如果不是不可能的话，很难从缺陷本身中分离出“我的应力”，从其他缺陷和边界条件的“你的应力”.....如果我只对能量感兴趣，并把它最小化以得到结果，这就不会太困扰我，除非有限物体的整体能量开始变得无限，这种情况发生在位错中，而不是在裂缝或倾斜中。
关于简单性的问题，我想这取决于旁观者的看法。我在论文中阐明了我的目标，我对一个概念框架感兴趣，这个框架可以处理连续介质力学中不断进化的奇点，从而导致实际的进步(对我来说，这意味着通过健壮的计算)。我还想忠实于与不同类型的奇点相关的不同运动学以及理解如何在能量中容纳这些奇点。奇怪的是，这直接连接到物理学中规范理论的“技术”，他们从规范原理中提取出这些运动学场。我觉得更令人满意的是，仅仅通过尝试理解奇点就能发现这样的东西，在我看来，这就是温加滕、沃尔泰拉、穆拉和德威特的作品中所传达的更深层次的信息。如果规范不变性的原理不被满足，那就.....
不管怎样，我可能在这里跑题了，所以我就到此为止。但简单对我来说是一种模式
1)具有通用性，所以它对你的帮助超出了你想要解决的直接问题，最好是展示了一些新的思维方式(因为一个人无论如何都要努力解决这个问题)，也就是说，它不会让一个人只见树不见林
2)一旦得到精确的指令，你就可以命令一个智能程度不高的电子设备执行。精确的指令可能需要与非线性波传播等相关的非常详细的算法，这本身就需要大量的学习。
我不认为目前与处理连续介质力学中演化奇点相关的事务处于理论和算法发展的阶段，可以提出这种主张，但进展正在发生。
(2010)。临界距离理论:断裂力学的新视角。爱思唯尔。
(2008)。临界距离理论。岩石力学与工程学报，37(4)，457 - 457。
苏斯梅尔，L. &泰勒，D.(2008)。利用临界距离理论预测混合载荷作用下缺口脆性构件的静强度。岩石力学与工程学报，32(3)，344 - 344。
Susmel, L.(2008)。临界距离理论在疲劳研究中的应用综述。岩石力学与工程学报，37(4)，457 - 457。
Cornetti, P.， Pugno, N.， Carpinteri, A.， & Taylor, D.(2006)。有限断裂力学:一个耦合的应力和能量破坏准则。岩石力学与工程学报，29(4)，2004,27 - 27。
彭诺(2004)。量子化断裂力学。哲学杂志，84(27)，2829-2845。
“简单多了”并无冒犯之意!
亲爱的阿米特
当我说“临界距离”方法可能“简单得多”时，我并不是说你的理论太复杂了!临界距离方法是非常经验的，不是一般的进化，我不认为它们有一个坚实的背景。然而，他们工作得很好，所以我很高兴你说你想看看。
也许当你提到“赛林的近距动力学方法”时，你可以考虑“临界距离”方法是相似的:它们都定义了赛林所说的“视界”。
你是否进一步比较了近距动力学?如果是这样，你已经非常接近“临界距离”了。
回复:“简单多了”，没有冒犯之意。
亲爱的米歇尔,
我一点也不生气(在技术讨论中，我很容易被冒犯;希望永远不会)。
虽然我还没有看过你提到的论文(我绝对想看一看——我喜欢看我能看的一切!)，但我对圆周动力学的基本思想有了合理的认识。我的模型是一个pde模型，而不是非局部的(好吧，这取决于什么变量的工作)，所以在这方面有一些很大的差异.....一个有趣的问题是，在零视界的极限下，动态模型的极限形式是什么。这可能是一个偏微分方程模型看看它和我的模型之间的联系也许是有意义的。然而，在极限模型中，我不确定是否可以有一个长度尺度，而我的偏微分方程模型肯定至少有一个内在长度尺度，即使在平衡解中也会起作用，所以....
简单地说就是“临界距离”
关键距离用几个字(这样你就可以避免阅读整本书!)
1)点法:-此具有经典解的标准奇异性，但忽略了它!所以它只是考虑裂纹前某一点的应力值——给定材料的恒定距离
2)直线法:这里有一些应力的平均:结果与上面的PM非常相似，也许这变成了“非局部”。
3)面积法和体积法——面积和体积取平均值，但同样不是什么大问题
4)量子化断裂力学:取应力强度因子的平均值
你觉得这些怎么样?
另一个快速的基础阅读是:
临界距离理论(TCD)是一种双参数方法，适用于在静态和高周疲劳载荷下，通过直接后处理根据连续介质力学计算的线弹性应力场来预测裂纹的非扩展，该应力场作用在被评估几何特征附近的材料上。换句话说，TCD通过使用临界距离和参考强度来估计裂纹体的静态和高周疲劳强度，这些距离和参考强度被假设为材料常数，其值随着材料微观结构特征的变化而变化。同样，梯度力学假定裂纹尖端附近的相关应力场必须通过直接将固有尺度长度纳入材料本构法来确定。这种方法的主要优点是，当存在裂纹和尖锐缺口时，应力场也变得非奇异。上述思想可以以不同的方式形式化，允许在静态和高周疲劳载荷下，对裂纹/缺口部件进行静态和高周疲劳评估，而不需要定义失效位置先天的．
本文研究了TCD和梯度力学之间存在的类比和区别，后者是根据所谓的隐式梯度方法形式化的，当这些理论被用于处理线弹性裂纹尖端应力场时。
Askes, H.， Livieri, P.， Susmel, L.， Taylor, D.， & Tovo, R.(2013)。内在材料长度，临界距离理论和梯度力学:处理线‐弹性裂纹尖端应力场的类比和差异。工程材料与结构的疲劳与断裂“，，36(1) 39-55。
除非你想让你的裂缝移动
我想我们都同意静态解决方案不会有太大的不同——如果我没有弄错的话，梯度弹性没有说如何让裂缝移动……
但也许你最感兴趣的是有一个模型，可以让裂纹尖端移动，多个裂纹相互作用。在“临界距离”中，相互作用可能是部分原因，但移动裂缝不是。
然后，第二个问题是如何移动你的裂缝。动态吗?
回复:除非你想让裂缝移动
模型中的动力学不一定与惯性有关。对于脆性情况，ceqn24_3，可在24_2无惯性情况下求解。
模型为什么以及如何移动裂纹尖端的动机在第2节和第3节中(在3.1之前)。还有结束语部分。
至于静态，是的，我或多或少同意你的观点，除了我看到了将原子定义的输入放入更现实的类似于能量对c和curlc的功能依赖(甚至在对c的“弹性”部分的依赖中)的可能性。
但是是什么驱动了运动，格里菲斯理论包括在内吗?
亲爱的阿米特
我看到了方程式，但我无法看到裂缝最初形成的驱动力在哪里，从而增加它们的应力集中，并最终像格里菲斯理论那样“变得不稳定”。在你的模型中到底有没有不连续曲面?格里菲斯理论作为特殊情况是否可以恢复?
如果你说的是脆性断裂，我看不出，在弹性范围内，你怎么能忽略惯性。此时裂纹扩展变为经典不稳定，拟静态模型不起作用。
疲劳是另一回事。如果你想要模拟裂缝传播，你需要让人们相信巴黎定律是特例，而不是格里菲斯理论。
希望这能有所帮助。
回复:但是是什么驱动了裂缝运动....
亲爱的米歇尔,
我同意你的观点(正如论文中所说)，在循环加载的情况下，展示与格里菲斯理论和巴黎定律的联系，以及一般与现有断裂力学概念的联系，构成了模型的主要任务。我认为这第一篇论文是一份微薄的贡献，而不是一部即将改变这一主题面貌的巨著。
也就是说，通过将我的学生xiaoahan Zhang和Chiqun Zhang在论文中的一种特殊类型的位错模型(也用于向列数学中的缺陷传播)翻译到目前的背景下，我相信您提出的问题可以得到很好的回答——根据模型成分对G_c进行预测(我的评论基于在此背景下的初步工作)。与疲劳载荷下的扩展驾驶条件建立基本联系显然是一个更复杂的涌现问题，但可以通过我正在谈论的简化模型来解决。在任何情况下，这在现阶段都不重要，所以我们只能等等看。
在该模型中，任何裂纹的演化都伴随着耗散——即使是在脆性的、名义上是弹性的材料中——这代表了键断裂中耗散的能量，例如，不能被连续介质场所代表的运动所捕获。从这个意义上说，模型从来都不是弹性的，我不同意准静态模型没有任何作用的说法——只要想想错位的Peierls应力模型，作为不稳定传播的一个例子(我们已经非常详细地处理过了)。我并不是说走向惯性的能量不应该严格地进入能量预算，它可以被模型处理……
该模型的极限解将给出不传递牵引力的不连续曲面。超出限制，这是一个模型的缺口。
我不愿意承诺该模型对裂纹均质形核的作用(论文中有评论，大家需要看看)。我不认为在合理的时间尺度上有任何好的基本模型....
现有裂纹扩展的驱动力来自弹性应变能(如果包括塑性)。
我不觉得有必要说服任何人相信任何事情，只是简单地计算出模型的结果，看看结果会如何。但我真的很感谢你的意见。
错位，裂缝，缺口，
我想如果我对错位了解得多一些也许我能更好地理解你的模型。
当你说在一个极限中你应该倾向于裂纹时，我松了你的意思——在哪个数量上的极限?
还有当你说"这是一个超越极限的模型。”你说的notch是什么意思?对我来说，缺口也没有通过表面传递的牵引力，对我来说，缺口是，例如，板上的一个洞。
我想如果我们定义一种共同的语言，我们就会取得进展。
回复:错位，裂缝，缺口，
只是为了修正思路，考虑到静态情况下指定了c字段，它将是图1a中c_w对应的长度。
当c_w不为零但很小时，模型将是一个缺口，是的，这也不传递牵引力。
除了我已经写下的内容，如果没有进一步的工作，我就没有/将没有进一步的进展可以报告。
那么，为什么不把它投给一些期刊呢?
我也认为，如果不进一步研究，我就没有什么可问的了:如果不与现有的知识、现有的理论、现有的实验进行比较，我发现很难做出判断:)
也许如果你把它寄给一些更注重数学的骨折杂志，你可能会得到一些评论，并从....那里得到它
回复:那么，为什么不把它提交给一些期刊呢?
谢谢你的建议。当然，这篇论文已经提交给了一家杂志。
补充说明(2017年11月7日)-这篇论文将作为研究论文发表在《弹性杂志》上。论文的接受版本已经上传。