2016年4月期刊俱乐部主题:固体中扩展缺陷原子模拟中的边界条件

固体中扩展缺陷原子模拟中的边界条件

克里斯托弗·温伯格，卢卡斯·黑尔和伊恩·巴克斯特

1德雷克塞尔大学机械工程与力学系

2美国国家标准技术研究院材料科学与工程系

介绍

当我们同意领导这次讨论时，我们对这个期刊俱乐部主题的想法是讨论位错原子模拟中的边界条件，但我们最终写了扩展缺陷，希望讨论能把我们引向比我们直接在“论文”上设定的更广阔的方向。我们惊讶于这个问题在我们的职业生涯中困扰了我们多少次，因为我们不得不多次重新审视边界条件的概念。话虽如此，我们认为解决这个看似陈旧或狭隘的话题也很重要。

增加原子体系的尺寸可以减小边界对缺陷结构和行为的影响。随着计算能力的提高，人们可能会认为与边界条件相关的问题正在消失。相反，随着研究人员不断转向更精确(和昂贵)的原子模型，包括密度泛函理论，它正变得越来越重要。因此，这个问题将在一段时间内继续存在。

让我们从一般意义上讨论这个问题，因为我们想用原子描述来模拟结晶固体中无限直位错的性质。在这方面，我们通常感兴趣的是探测位错核心的性质(其结构和/或其核心能量)或位错对外部应力场的响应。任何经典边界条件都会导致与位错的相互作用，从而影响观察结果。在这里，我们将讨论在这些模拟研究中最有用的两大类边界条件:周期性边界条件和基于连续体的边界条件。

周期边界条件(偶极系统)

周期边界条件(pbc)可能是原子模拟中最常用的边界条件。然而，在模拟无限直线位错时，使用PBCs是相当具有挑战性的。如果我们坚持在三维空间中使用周期边界条件(特别是在DFT模拟中经常这样做)，那么我们在几何上就被限制在累积Burgers向量为零的系统中，即一些偶极子配置，如图1所示。此外，在构建稳定系统和分析结果时，必须注意考虑位错之间的相互作用。

图1:矩形模拟盒中简单位错偶极子的示意图。

为了提取连续体描述，有必要在周期边界条件下使用偶极子的连续体模型比较原子计算的能量，这就是问题所在。连续介质解中的能量是有条件收敛的，它是图像上的二维无穷和。这在Cai等人的论文[1,2]和几本书[3,4]中都有很好的描述。

类似地，佩尔斯应力(移动孤立位错所需的最小应力)可以通过对周期盒施加剪切来估计。在这种设置中，位错最好是定向的，这样它们就不会共享一个滑行平面。盒子可以连续剪切，随后的原子松弛，直到位错移动。当盒子足够大时，这个临界应力可以与佩尔斯应力相关联。然而，必须谨慎使用，因为Peierls应力可能取决于模拟盒的尺寸，特别是在Peierls应力较低且位错盒尺寸较小的情况下，会给出错误的结果[5]。

图2:BCC合金中peerls应力随箱体尺寸的收敛曲线，来自[5]。

虽然在使用pbc的经典原子模拟中增加模拟单元是可能的，但当使用电子结构密度泛函理论(DFT)时，这种方法将失败，因为单元尺寸不太可能增加到足够的尺寸。因此，设计使PBC相互作用效应和核心效应最小化的模拟细胞是特别有趣的。这在[6,7,8]中得到了广泛的研究。这项工作的一个有趣的发现是，图3(c)所示的四轴排列可以很好地减少核心效应，并且似乎是从周期性DFT模拟中提取位错性质的最合适的排列。

图3:使用DFT研究BCC金属位错特性时考虑的三种不同的偶极子几何形状，来自[6]。

基于连续体的边界条件(单极子系统)

虽然在从周期性边界条件下的位错模拟中提取信息方面已经做了大量的工作，但似乎模拟无限介质中的单个位错将是提取该信息的更直接的方法。然而，执行这些边界条件，特别是在潜在移动位错的情况下，可能是不平凡的。

处理位错单极子最简单、最常用的方法是通过置换各向异性弹性溶液的原子位置来产生位错，该方法使用Stroh形式[9]求解。在这种方法中，允许半径R内的原子根据原子力放松，而该区域外的原子则固定在其非放松的弹性解位置。这是一个几乎理想的安排，因为它给出了一个基于连续体的边界解。然而，在松弛区和固定区之间的界面处会产生不相容力。

图4:位错单极系统的一个例子。(a)红色原子在活跃原子区，蓝色原子在边界区。(b)只显示位错处的原子。

这些固定边界单极系统在文献中被广泛用于模拟孤立位错的运动，方法是对系统施加均匀应变状态。特别值得注意的是，在BCC金属中广泛使用非施密德效应，我们向读者指出，有两篇(许多)论文已经这样做了[10,11]。这种方法适用于原子间势，其中位错的畴大小适中。在进行此分析时，必须小心，因为当位错靠近边界时将形成更大的不相容，并且大的施加应力/应变可能超过线弹性的极限。

这种边界条件，即固定无限边界条件的应用，除了一个例外，在位错的DFT研究中并没有被广泛使用[6]。可用于DFT模拟的模拟单元尺寸太小，无法准确模拟孤立的位错，因为边界区域离位错太近，导致不相容性力很大。相反，实现了不同的边界条件，以保持与基于连续体的远程场的一致性，同时也允许边界中的原子放松。

最常用的方法是基于经典的柔性格林函数边界条件。该设置与固定边界条件类似，只是在原子区域和边界区域的界面处定义了一个额外的过渡区域。晶格格林函数用于计算与抵消作用在过渡区原子上的原子力有关的所有原子的位移。在原子区和过渡区之间使用迭代解，直到在两个区域之间达到平衡。

这种类型的BC已被用于研究BCC金属中的孤立位错[10,11]，并测试它们在应力下的反应。然而，使用这种方法需要实现复杂的边界条件，并确定感兴趣格的格林函数。

与这些类型的位错研究相关，已经有成功的尝试将DFT与经典原子学配对[12]。这允许高精度靠近核心与从头算模型，和更长的范围的弹性行为(和更大的系统尺寸)与经典势。注意，使用这种方法，重要的是与这些不同区域相关的晶格和弹性常数是一致的。

讨论与展望

在原子模拟中模拟位错对材料科学家、力学家和数学家来说是一个具有挑战性的问题。万博体育平台在经典原子学的情况下，如果势足够容易创建非常大的系统，那么许多边界条件都将起作用(甚至有些在这里没有讨论)。对于计算时间更长的DFT，有许多使用PBC和Green函数边界条件方法的理论方法可以得到误差最小的答案。正如我们在引言中指出的那样，计算机速度的提高将有所帮助，但也将挑战研究人员使用更可靠和昂贵的方法，因此位错的边界条件问题可能变得更加重要，而不是减少。

值得指出的是，我们忽略了固定边界条件和自由表面边界条件的可能性。对于模拟位错的性质，这些边界条件通常比使用无限体解固定边界更差，除非对与自由或刚性表面的相互作用特别感兴趣，否则通常避免使用这些边界条件。

对于那些有兴趣使用这些方法的人来说，这些边界条件的标准化仍然是一个问题。作者知道有许多有用且公开可用的工具值得一试。在讨论中添加任何其他工具也将非常受欢迎。

Dallas Trinkle发布了一个实现VASP中柔性格林函数边界条件的代码[http://dtrinkle.matse.illinois.edu/dokuwiki/doku.php?id=downloads]．

为了计算周期边界条件下位错偶极子性质中的马德隆和，蔡伟也提供了一个免费的代码[http://micro.stanford.edu/~caiwei/Forum/]。

然而，在原子模拟中实际产生位错的工具似乎有限。就在最近(3月31日)，NIST发布了使用Stroh方法生成位错的代码，该代码在atomman Python包中免费提供，该包是NIST的Interatomic Potential Repository项目的一部分[https://github.com/usnistgov/atomman/blob/master/Notebooks/atomman.defect.Stroh.ipynb]．该代码目前支持以LAMMPS数据和转储格式保存原子配置。在这一点上，我们确信我们遗漏了其他作者的贡献，我们为这些疏忽道歉。

我们想指出的是，在这些边界条件下，有很多潜在的功要做。首先想到的是误差分析和不确定性量化领域，特别是对于那些更有数学头脑的人。下面引用的几篇论文提到了与偶极子构型有关的误差以及偶极子和无限边界条件之间的差异。然而，我们认为对所涉及的错误的类型和大小以及它们所依赖的因素进行更严格的讨论将是有益的。

把这个讨论带回来，我们再次注意到，我们只考虑了位错，而且是无限的直线位错。可以引发一些好的讨论的一个领域是，我们应该考虑哪些其他类型的扩展缺陷的唯一边界条件，以及我们需要什么方法?

参考文献：

[1]蔡伟，张建军，李建军，叶世生，“周期位错阵列的各向异性弹性相互作用”，物理学报，86,5727 (2001)
[2]蔡伟，张建军，李建军，叶世生，“位错模型的周期图像效应”，数学学报，33(3)，539(2003)。
[3]蔡伟，《位错的计算机模拟》，牛津大学出版社，2006年10月。
[4]蔡伟，“基于周期性超级单体模型的位错建模”，《材料建模手册》，叶世生编，第2.21节，Springer(2005)。
[5]张杰，博士论文麻省理工学院(2004):https://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/16601/55011166-MIT.pdf?se..。
[6]张志强，张志强。α-Fe中螺旋位错的核心结构和peerls势:从第一性原理:簇与偶极子方法计算机辅助材料设计学报，2014,85 -94(2007)。
[7]刘建军，李建军，李建军。位错岩心场。2铁中的螺位错。”中国生物医学工程学报(英文版)，32(4)，344 - 344(2011)。
[8]张晓明，张晓明，张晓明，等。"从第一性原理中错位核心能量和核心场"物理评论杂志102:055502(2009)。
[9]李志刚，李志刚，李志刚，等。数学与物理学报，1998,11(2)。
[10]王晓明，王晓明。钼和钨塑性变形的多尺度建模:I. 0K时1/2< 111>螺位错的核心结构和滑动的原子研究。材料学报56,51(2008)。
[11]王志强。V. Vitek。bcc过渡金属的塑性各向异性。材料学报46,1481(1998)。
[12]李晓东，李晓东，李晓东，李晓东，“一种基于量子-经典的空位形成能研究”，材料科学与工程学报，2004(4):774 - 778。