四阶张量

嗨,华美达,

产生不变量的一种直接方法是进行缩并，直到所有的指标都变成哑项。举个例子，对于二阶张量T_{ij}，你可以做一次缩并T_{ii}就得到了第一个不变量。类似地，如果你取平方T^2_{ik} = T_{ij}T_{jk}并对T_{ij}T_{ji}进行缩并你得到平方的轨迹，这是另一个不变量。对四阶张量做同样的处理。收缩四阶张量的方法还有很多。C_{ijij}， C_{iijj}， C_{ijji}， C_{ijij}是我能想到的。当然，你可以对张量取幂并进行缩并得到更多。收缩基本上就是乘以克罗内克函数。你也可以用利未-西维塔符号来思考乘法。例如,侦破(T) = 1/6e_ {ijk} e_ {pqr} T_ {ip}识别T_{金桥}T_ {kr}识别识别。

如果是标准正交基，这是成立的。否则，请使用适当的定义，例如克罗内克函数，并遵循相同的过程。

亲爱的Ramdas:

你要找的是诚信基础。坐标变换下的不变性等价于SO(3) (O(3)的保向子群)下的不变性。然后你想看看四阶张量的哪些多项式函数在这个群的作用下是不变的。在各向同性张量函数的情况下，可以将感兴趣的函数的依赖关系简化为不可约的基不变量。正如你提到的，对于二阶张量有三个主不变量。同样地，你可以用基本不变量来重写这些。用A表示二阶张量，这些是A的轨迹，A^2=A。A^3=A在四阶张量的情况下，有六个基本(和主要)不变量。用C表示四阶张量，这些是C^i的轨迹，i=1，…，6。

J. Betten，二阶和四阶张量的完整性基础，国际数学与数学科学杂志5(1)，87-96,1982。

问候,
乔

目前为止我看过的最好的介绍性文章是

张量分析简介詹姆斯·g·西蒙兹著

——Biswajit

你好,

讨论得很好。这是我的5美分。这些是关于张量分析的一些链接(都是介绍性的)，当我学习张量的时候，我发现它们很有用。

1) (NASA简介)http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM200221..。

2)(鲁斯兰·沙里波夫)http://arxiv.org/abs/math.HO/0403252

3)(斯特兰德伯格)http://medlem.spray.se/gorgelo/tensors.pdf

阿伦

R M Brannon的另一个有用的参考:

http://www.mech.utah.edu/~brannon/public/Tensors.pdf

亲爱的Ramdas

你可能会对下面这篇关于连续介质力学中四阶张量及其操作的论文感兴趣:

四阶张量-张量微分在连续介质力学中的应用。第一部分:经典张量分析，作者:O. Kintzel, Y. Ba基于“增大化现实”技术。

除此之外，我建议你们也有一些对称群和张量积的概念。你可能喜欢读:

《代数》，作者:Artin

谢谢

你只是
给了我一个好主意。

我爱
你们也总是不睡。

不错的
帖子，谢谢!我很高兴我访问了这个网站。

顺便说一句,我
比如尝试我的网站，如果你添加一些，我可以提供建议
小部件到您的网站，您将能够不仅享受
自动更改您的桌面背景，还可以收听
好音乐很容易直接从任何音乐搜索引擎。

你好亲爱的阿伦•克里希南

你的Nasa链接到张量书http://www.grc.nasa.gov / WWW / k - 12 /数字/数学/文件/ Tensors_TM2002211716.pdf很有帮助。和比你比瓦吉特,Arun和Sivakumar感谢你们帮助我们了解更多关于张量的信息。我很高兴我访问了这个网站。

谢谢Rene Hubert

亲爱的Wordi,

我还阅读了Nasa链接张量书(http://www.grc.nasa.gov / WWW / k - 12 /数字/数学/文件/ Tensors_TM2002211716.pdf)，你说得对，这很有帮助。

还有第三个链接是Arun (http://medlem.spray.se/gorgelo/tensors.pdf)对我来说真的很有趣。

谢谢你的分享，Arun。

这对学习张量很有用。

问候
马努

我偶然发现了这个话题-它很老了，然而对称(!)四阶张量的不变量是我研究的主题-也许有人会发现这些信息很有用。

它只涉及满足对称条件C_(ijkl)=C_(jkl)=C_(ijlk)=C_(klij)的四阶张量C，即所谓的胡克张量(例如弹性-刚度S和柔度C -张量)。它们有3^4=81个分量，其中只有21个分量是独立的，这是由于应力张量和应变张量的对称性以及弹性势微分的对称性。其中我们可以区分:

-6个特征值(不变量)

-12个刚度分布(不变量)

-3定向参数(非不变)

最后3个参数不是不变量——它们仅用于确定所考虑的坐标系中材料的内部结构(例如欧拉角，或3个正交向量的分量(+9个分量-3个正交条件-3个归一化条件))——在正交异性或四方对称或立方对称的情况下尤其明显，但它涉及所有8种弹性对称。

值得注意的是，弹性张量作为线性自同构算子在对称二阶张量的线性空间中(让我们用T2s表示)起作用。如果我们考虑“相对应力”空间(无量纲空间)，则应力和应变状态的空间都等价于T2s。T2s实际上是6维的——这就是为什么我们只能区分C和S的6个特征值——Rychlewski建议称它们为“开尔文模”(开尔文男爵威廉·汤姆森首先引入了它们)——它们是不变量。

12刚度分布被定义为特征态(或特征量-对称二阶张量T2s的“向量空间”中的特征向量)的不变函数，它也是符号不敏感的。二阶张量的特征向量就是向量(一阶张量)——它们是由张量主方向的方向唯一给出的。在4阶张量的情况下我们通常有6个特征态每个特征态由6个独立的分量组成。这些状态必须相互正交并归一化它给了我们6*6-(5+4+3+2+1)-6=15个参数。其中3个为上述定向参数。12个刚度分布决定了特征态的形式(每个特征态的每个分量之间的比率)。例如，某些对称性的某些特征态是两个不同量级的纯剪切态的组合-这些量级的比率是刚度分布的函数。

随着C和S对称性的增加，独立不变量的数量减少——一些开尔文模相等，一些刚度分布“消失”。

还有其他6个不变量1，…,I6 of C - the coefficients of its charateristic polynomial p(L) - they can be expressed in terms of the Kelvin moduli L1,...,L6:

L p (L) = ^ 6-I1 * L ^ 5 + I2 * L ^ 4-I3 * L ^ 3 +预告* L ^ 2-I5 * L + 16 = (L-L1) * (L-L2) * (L-L3) * (L-L4) * (L-L5) * (L-L6)

它们(以及开尔文模和刚度分布的某些函数)可以通过一个6x6矩阵的特征问题分析来找到，这个矩阵是C在T2s中的表示(最好是用所谓的孟德尔符号来做——与经典的Voigt符号有点不同)。如果有的话，这些不变量的物理解释是相当不清楚的。

这些问题首先由J. rychlewski在1983年(在几乎无法获得的俄文小字中)讨论，然后在1984年(J. rychlewski，“On Hooke’s Law”，J. applied Math Mech, 48, 3 (1984)， pp. 303-314)，后来由M.Mehrabadi和S.Cowin(“线性各向异性弹性材料的特征量”，Q . J. Mech applied Math, 43(1990))独立讨论。第15-41页)(然而，在两篇论文中，在特征态不变量的独立性和谱分解的唯一性上都有一些小的错误)，然后由S.Sutcliffe(“弹性张量的谱分解”，ASME 762, vol. 59，(1992))。

研究c的所谓各向同性(或谐波)分解可能也很有趣。我对这个话题不太了解，所以我只能推荐一些文章——值得一看:

K. Kowalczyk-Gajewska, J. Ostrowska-Maciejewska，“线性弹性材料所有对称群的Hooke张量谱分解”，工程学报，57 (2009)

J.Rychlewski，“胡克张量的定性方法”。《力学档案》，Vol. 52, 4-5 (2000)

J. Rychlewski，“Hooke张量的定性方法”。《力学学报》第53卷第1期(2001)

我认为链接(http://www.grc.nasa.gov / WWW / k - 12 /数字/数学/文件/ Tensors_TM2002211716.pdf)在这一点上是最好的，我感谢这个。pdf提供的信息，非常感谢!

问候和祝福，
Henningsen

你给了我一个好主意。我也喜欢你们总是不睡的样子。不错的帖子，谢谢!我很高兴我访问了这个网站。顺便说一句，我喜欢尝试我的网站，我可以建议，如果你在你的网站上添加一些小部件，你不仅可以享受桌面背景的自动变化，还可以直接从任何地方轻松听到好听的音乐Situs Kesehatan Veherba和枇杷膏。

我找到了这里和里面的帖子https://en.wikipedia.org/wiki/Invariants_of_tensors是非常有用的，也许有人可以告诉我，如果我错了这个问题(*)下面。

Tsai-Wu破坏准则是一个张量多项式I=I(s,F)，其中I为破坏指数(I=1表示即将破坏)，s为正交各向异性层中的应力张量，F为材料强度参数(每个应力分量一个)。

在我看来，在符号中https://en.wikipedia.org/wiki/Invariants_of_tensors， s是“不确定”。

I(s,F)与坐标变换无关意味着I(s,F)=I(s'，F)其中s'是由s的坐标变换得到的。

应力由应变计算，应变又由荷载N计算，使用四阶顺应张量S=C^-1，其中C是刚度张量。

问题(*)事实上I(s,F)=I(s'，F)并不意味着你可以把C转换成C'和s转换成s'，而不把载荷转换成N'，因为那样你会得到不正确的应力s'和不正确的I(s'，F)。我是对的?